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Einen wunderschönen guten Tag und herzlich willkommen zu dieser neuen Folge. Wer über Mathematik reden möchte, der braucht – seriöses Reden vorausgesetzt – einen Grundwortschatz. Wir werden deshalb heute ein paar Begriffe klären, die grundlegend für den Umgang mit Wahrscheinlichkeit sind.

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Es gibt ein wichtiges Ziel und das ist die Definition dessen, was Wahrscheinlichkeit ist. Ganz klar – mit einem intuitiven Zugang kann man sich in der Mathematik nicht zufriedengeben. Wir werden dieses Ziel heute zwar noch nicht erreichen, aber wir werden es vorbereiten.

Wieder einmal wählen wir Zufallsexperimente als den Ausgangspunkt. Sie wissen es bereits: Der Ausgang eines solchen Experiments ist nicht vorhersagbar, aber es wird eindeutig eines von gewissen, vorher festgelegten Ergebnissen eintreten. Sie werden in der Ergebnismenge 𝜴 zusammengefasst.

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Und so haben wir schon zwei Begriffe verwendet, nämlich Ergebnis und Ergebnismenge. Wann benutzt man sie? Und was ist eigentlich ein Ergebnis? Ist die „6“, die der Würfel nach dem Werfen zeigt, ein Ergebnis? Umgangssprachlich würde man es so ausdrücken.

Lassen Sie uns das schrittweise an Beispielen betrachten. Dabei ist die Grundidee, dass ein Zufallsexperiment gewünschte, also definierte und festgelegte Ergebnisse hat. Locker gesprochen: gewünscht, definiert, festgelegt von Ihnen als die Person, die das Experiment durchführt.

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Hier sind zwei einfache Beispiele, zum einen ein Münzwurf und zum anderen ein Fußballspiel. Beim Wurf von zwei Münzen gibt es prinzipiell drei Möglichkeiten, die hier aufgezeigt sind: zweimal Kopf, zweimal Zahl oder einmal Kopf und einmal Zahl. Aus denen könnten wir eine Ereignismenge 𝜴 zusammenstellen.

Genauso gibt es bei einem Fußballspiel drei mögliche Ausgänge, denn jede der beiden Mannschaften kann gewinnen und das Spiel kann unentschieden ausgehen.

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Wirft man einen Würfel, dann kann man sich entsprechend für jede der sechs möglichen Ausgänge interessieren und legt als Ergebnismenge 𝜴 = {1, 2, 3, 4 ,5, 6} fest.

Aber stellen Sie sich vor, Sie spielen „Mensch ärgere dich nicht“. Dann ist zu Beginn nur wichtig, ob eine „6“ gewürfelt wird oder nicht. Die Ergebnismenge kann sich problemlos an diese Situation anpassen. Es ist 𝜴 = {6, nicht 6}, denn alle anderen Zahlen sind gleichermaßen uninteressant.

Vielleicht interessieren Sie sich für gerade und ungerade Zahlen, dann nehmen Sie doch das als Ergebnismenge.

Noch einmal: Die Grundidee ist, dass ein Zufallsexperiment festgelegte Ergebnisse hat, festgelegt von Ihnen als die Person, die das Experiment durchführt.

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Hier ist noch ein Beispiel. Nehmen wir an, Sie werfen mit zwei Würfeln. Dann könnten Sie sich etwa dafür interessieren, was die beiden Würfel zeigen, ohne dass Sie auf die Reihenfolge achten. Man kommt so zur Ergebnismenge 𝜴₁, die aus allen Paaren der Zahlen von 1 bis 6 besteht. Oder Sie bilden die Augensumme und fragen sich, ob sie gerade oder ungerade ist. Dann legen Sie 𝜴₂ als Ergebnismenge fest. Sie merken schon, dieses Spiel kann man nach Belieben fortsetzen.

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Ganz kurz noch ein paar Beispiele. Das erste und das zweite Beispiel verdeutlichen noch einmal, dass es wirklich nur darauf ankommt, was als Ergebnismenge festgelegt wird. Das zweite und das dritte Beispiel zeigen ganz explizit, dass auch Experimenten eine Ereignismenge zugeordnet werden kann, bei denen es keine theoretischen Annahmen für die Häufigkeit gibt.

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Und das ist die Definition: Die Menge Ω = {ω₁, ω₂, ... , ω_n} aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum oder Ergebnismenge.

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Es sei betont, dass über die Ergebnismenge alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments abgedeckt sein müssen. Sonst wäre die Festlegung für die Praxis schlicht sinnlos.

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In der Mathematik ist eine präzise Sprache wichtig, das sagte ich bereits. Lassen Sie uns also präzisieren, womit wir eben agiert haben. Wir betrachten ausschließlich so genannte diskrete Zufallsexperimente. Das sind solche, bei denen die Ergebnismenge 𝜴 diskret ist. Eine diskrete Menge hat endlich viele oder abzählbar unendlich viele Elemente. Und wenn Sie mit diesen Begriffen nicht recht vertraut sind, dann passiert gar nichts. Lassen Sie es dann beim intuitiven „na, ist alles, was man irgendwie zählen kann.“

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Ein weiterer wichtiger Begriff ist der des Ereignisses. Wann geht es also um Ereignisse?

Nun, ein Ereignis ist bei einem Zufallsexperiment jede Teilmenge der Ergebnismenge Ω. Wir brauchen also zwingend die Festlegung der Ergebnismenge, um den Begriff zu verwenden.

Von einem Elementarereignis spricht man, wenn es sich um einelementige Teilmenge von Ω handelt.

Die Potenzmenge P(Ω), also die Menge aller möglichen Teilmengen von Ω, heißt Ereignisraum des Zufallsexperiments. Ein Ereignis ist entsprechend immer ein Element von P(Ω).

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Betrachten wir ein Beispiel: Wir würfeln mit einem regulären Würfel. Offensichtlich kann man Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} als Ergebnismenge festlegen.

Dann ist „es wird 3 geworfen“ eines von sechs möglichen Elementarereignissen.

Es ist das sichere Ereignis, dass eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird.

Unmöglich ist, dass keine dieser Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Folglich handelt es dabei um ein unmögliches Ereignis.

Und wieder können wir frei festlegen, was uns interessiert. „Es wird 1 oder 3 oder 5 geworfen“ das Ereignis „ungerade Zahl“ oder „es wird 2 oder 3 oder 5 geworfen“ das Ereignis „Primzahl“.

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In der Mengenschreibweise sieht es so aus:

T₁ = {3} ist klar, T₂ = {1,2,3,4,5,6} ist auch nicht schwierig. Das unmögliche Ereignis wird durch die leere Menge T₃ = { } { } dargestellt, die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge. Schließlich ist noch T₄ = {1,3,5} und T₅ = {2,3,5}.

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Und hier sind wesentliche Begriffe noch einmal zusammengefasst.

Die Ergebnismenge ist die Menge Ω aller Ergebnisse.

Ein Ereignis ist jede Teilmenge A von Ω.

Alle Ereignisse bilden die Ereignismenge und das ist die Potenzmenge P(Ω).

Ein Elementarereignis ist jede einelementige Teilmenge von Ω.

Das sichere Ereignis ist A = Ω, das unmögliche Ereignis A = { }.

Zu jedem Ereignis A gibt es ein Gegenereignis Ω \ A , also das Komplement von A.

Wir können Ereignisse mit „und“ verknüpfen, das gibt dann den Durchschnitt der beiden Ereignisse. Und wir können Ereignisse mit „oder“ verknüpfen, dann gibt es die Vereinigung der beiden Ereignisse. Zuviel Mengenlehre? Keine Angst, es folgen gleich Beispiele.

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Lassen Sie uns noch einmal würfeln, das ist ein schönes und einfaches Zufallsexperiment.

Angenommen A₁ ist das Ereignis „ungerade Zahl“ und A₂ ist das Ereignis „Primzahl“.

Das Gegenereignis zu A₁ ist das Ereignis „gerade Zahl“ oder die Menge der Zahlen 2, 4, 6, das Gegenereignis zu A₂ ist das Ereignis „keine Primzahl“, also die Menge der Zahlen 1, 4, 6.

Wenn wir die beiden Ereignisse mit „und“ verknüpfen, dann suchen wir Zahlen, die ungerade und Primzahlen sind, offensichtlich sind das 3 und 5.

Wenn wir die beiden Ereignisse mit „oder“ verknüpfen, dann suchen wir Zahlen, die entweder ungerade oder eine Primzahl sind. Offensichtlich sind das die Zahlen 1, 2, 3 und 5.

Sicher ist beim Würfeln, dass man eine der Zahlen von 1 bis 6 wirft.

Unmöglich ist es, eine 7 zu würfeln … oder eine 8 oder … was immer Sie hier einsetzen mögen und von den ganzen Zahlen zwischen 1 und 6 verschieden ist

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Lassen Sie uns mit einem Beispiel schließen. Wenn im Fußball Real Madrid gegen Bayern München antritt, dann gibt es drei mögliche Ergebnisse: Real Madrid gewinnt, die Mannschaften spielen unentschieden, Bayern München gewinnt.

Ereignisse könnten sein
„eine Mannschaft siegt“, also Real Madrid gewinnt oder Bayern München gewinnt.

bzw.
„es gibt keinen klaren Gewinner“, was heißt, dass die Mannschaften unentschieden spielen.

Offensichtlich sind die beiden Ereignisse jeweils das Gegenereignis des anderen.

Die Verknüpfung mit „und“ klappt nicht, denn die Ereignisse schließen sich aus. Man bekommt die leere Menge, das unmögliche Ereignis, dass keiner gewinnt und die Mannschaften auch nicht unentschieden spielen.

Die Verknüpfung mit „oder“ ist ganz einfach. Sie führt zur Ergebnismenge Ω.

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Das war es für heute. Haben Sie vielen Dank, dass Sie dabei waren. Ich freue mich auf Sie in der nächsten Folge.