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Herzlich willkommen zu dieser neuen Folge. Wir wollen heute ein wenig an Schulstoff erinnern, der mit Statistik in einem weiteren Sinne zu tun hat. Es geht um den Binomischen Lehrsatz und das Pascal’sche Dreieck.

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Beginnen wir mit dem Binomischen Lehrsatz. Wir hatten schon einmal darüber gesprochen, denn dieser Satz ist ein nützliches Werkzeug bei der Betrachtung stochastischer Situationen.

Was wollen wir heute? Nun, ihn ganz genau verstehen und dann auch noch beweisen. OK für Sie? Sind Sie bereit zur neuen Folge? Dann lassen Sie uns beginnen.

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Mit Sicherheit erinnern Sie sich an den Binomischen Lehrsatz in seiner einfachsten Form. Es gilt (a+b)² = a² +2ab + b²  für alle reellen Zahlen a und b. Das kann man ganz einfach nach den Regeln für ein Produkt von zwei Termen berechnen. Es ist (a+b)² = (a+b) • (a+b) = a² + ab + ba + b² und weil für die Multiplikation reeller Zahlen das Kommutativgesetz gilt, ist a² + ab + ba + b² = a² +2ab + b² . Das ist einfach, aber geben Sie es zu, auch ganz schön langweilig.

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Für den Unterricht bieten sich auch Verfahren an, die die Gültigkeit anschaulich verdeutlichen. Sie sehen hier ein Beispiel: In ein Quadrat der Seitenlänge a+b zeichnet man geeignet ein Quadrat mit Seitenlänge a und ein Quadrat mit Seitenlänge b ein. Dann entstehen gleichzeitig zwei Rechtecke jeweils mit den Seiten a und b. Natürlich ist das kein Beweis im klassischen Sinn, aber der Satz wird dadurch sehr plausibel.

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Man kann übrigens auch die Formeln für (a-b)² und (a+b)•(a-b) ähnlich darstellen, was hier allerdings vom Thema ablenken würde. Probieren Sie es selbst aus.

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Das drei- oder gar mehrdimensionale Zeichnen keine ganz einfache Übung ist beziehungsweise es ist unmögliche, es bietet sich für n > 2 wirklich nicht an. Rechnen wir also: Es ist (a+b)³ = (a+b)² • (a+b) = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³. Die Zahlen 1 vor a³, 3 vor a²b, 3 vor ab² und 1 vor b³ nennt man, Sie haben den Begriff sicher bereits gehört, Koeffizienten. So könnte man weiter rechnen und das haben wir hier auch für  gemacht. Aber auch das Multiplizieren wird sehr schnell unübersichtlich. So per Hand weitermachen, würde keinen Spaß machen. Wie fast immer brauchen wir auch hier eine systematische Betrachtung.

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Aber ganz offensichtlich entwickeln sich die Koeffizienten mit jeder neuen Gleichung einer aus dem anderen.

Betrachten wir den Schritt von (a+b)² zu (a+b)³. Durch Multiplikation mit a wird aus dem Term a² der Term a³. Aus dem Term 2ab wird 2a²b und aus dem Term b² der Term ab². Durch Multiplikation mit b wird aus dem Term a² der Term a²b, aus dem Term 2ab wird 2ab² und aus b² wird b³. Fasst man zusammen, dann kommen a³ un b³ je 1-malt vor und die gemischten Terme a²b und ab² je 3-mal. Das lässt sich im Prinzip auf  übertragen, natürlich müssen die Terme  und  mit dem Koeffizienten 1 auftreten. Und dann gibt es alle möglichen gemischten Terme, nämlich a³b, a²b² und ab³. Wie oft sie auftreten kann man aus dem ausgeschrieben Term für (a+b)³ ablesen. Man muss einfach die Summe von nebeneinanderliegenden Koeffizienten bilden, denn sie bestimmen die folgende Rechung. Probieren Sie es einmal für  selbst aus.

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Und das ist das Ergebnis. Es ist a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵, denn 1+4 = 5, 4+6 = 10, 6+4 = 10 und 4+1 = 5.

Schauen Sie sich das noch einmal an, denn es ist eigentlich nur ganz einfaches rechnen.

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Die Koeffizienten bilden ein Pascal’sches Dreieck. Jeder Koeffizient ist Summe der beiden darüber liegenden Koeffizienten. Und an den „Rändern“ steht jeweils die „1“.

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Hier sehen Sie noch einmal für (a+b)² und (a+b)³ den Zusammenhang zwischen den Gleichungen und dem Pascal’schen Dreieck.

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Dieses Pascal’sche Dreieck kann man auch so schreiben, nämlich mit Hilfe der Binomialkoeffizienten. Worum geht es da genau?

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Wir legen fest. Der Term n über k heißt Binomialkoeffizient. Der Name bietet sich an, weil er ja offensichtlich durch die Koeffizienten im Pascal’schen Dreieck festgelegt wird. Er wird (und das wissen wir schon) „n über k“ gesprochen. Dabei ist n eine natürliche Zahl, k eine natürliche Zahl oder 0 und k ≤ n.

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Hier sehen Sie noch einmal ganz effizient wo die Binominalkoeffizienten im Pascal’schen Dreieck zu finden sind.

Aber Sie erinnern sich: Wir hatten diesen Begriff bereits an anderer Stelle definiert. Darf man das zweimal machen? Natürlich nicht. Wir müssen vielmehr zeigen, dass die beiden Konzepte identisch sind.

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So haben wir es in Folge 7 gesehen (und Sie erinnern sich, da wollte Nina von ihren 12 Kleidern genau 5 in den Koffer packen):

Die Anzahl der k-Mengen einer Menge mit n Elementen beträgt n! / k! • (n-k)!. Diese Zahl nannten wir damals n über k – natürlich bei gleicher Schreibweise.

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Und damit haben wir nun diesen Begriff ein weiteres Mal definiert. Darf man das in der Mathematik machen?

Natürlich nicht! Wir müssen viel mehr zeigen, dass die beiden Konzepte identisch sind.

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Der Beweis ist nicht schwierig. Aber sehr viel Rechnerei. Wir nehmen es daher nicht ganz so streng.

Mit der bewährten Methode versuchen wir allerdings Schritt für Schritt die Identität der beiden plausibel zu machen. Im ersten Schritt betrachten wir (a+b)⁰ = 1.

Wir verfahren hier wie gewohnt und plagen uns entsprechend auch nicht mit herum. Wir setzen  := 1.

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Im zweiten Schritt berechnen wir  und  und zeigen, dass das jeweils gleich 1 ist.  nach den Regeln berechnet ist  =  =  = 1.  das kann man gleichermaßen einsehen, berechnet sich genau so einfach zu 1.

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Im dritten Schritt zeigen wir, dass  = n =  für alle natürlichen Zahlen n ist. Sie sehen hier die notwendigen Rechnungen, die auch wieder leicht nachzuvollziehen sind. Entsprechend passt es also auch bei der zweiten und der vorletzten Zahl in einer Reihe des Dreiecks.

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Der vierte Schritt erklärt die Symmetrie des Binomialkoeffizienten, die Sie hier auf der Folie sehen. Wir zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen n und für k ≥ 0.

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Auch diese Rechnung ist einfach zu verstehen.

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Die Rechenschritte mögen einfach sein, der Inhalt mag einem in der Anwendung ziemlich schwierig erscheinen. Ja auch hier gibt es Fehlvorstellungen. In einer Untersuchung von Fischbein und Schnarch im Jahre 1997 hatten die Teilnehmerinnen und Teilnehmer Probleme mit dieser Aufgabe.

Wenn ein Komitee zwei Mitglieder unter zehn Kandidatinnen und Kandidaten auswählen soll, dann gibt es

• mehr
• weniger
• gleich viele

Möglichkeiten wie bei der Auswahl von acht Mitgliedern unter zehn Kandidatinnen und Kandidaten. In der 11. Klasse waren es 15%, die eine korrekte Antwort gaben, bei einer Gruppe von Lehramtsstudierenden sogar nur 6%. Die meisten meinten, dass es bei der Auswahl von 2 Personen aus 10 mehr Möglichkeiten gibt, als wenn es 8 aus 10 sind.

Wir haben uns gerade viel Mühe gegeben zu zeigen, dass es keinen Unterschied gibt, denn 10 über 2 ist dasselbe wie 10 über 8. Aber richtig intuitiv ist das offensichtlich nicht.

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Der fünfte Schritt erfordert die meiste Rechnerei. Wir zeigen hier, dass

für alle natürlichen Zahlen n und k (k ≥ 0). Es passt also, dass zwei nebeneinander liegende Zahlen im Pascal’schen Dreieck in Summe die darunter liegende Zahl ergeben. Auf der rechten Seite der Folie sehen Sie das noch einmal in entsprechenden Zeilen des Pascal’schen Dreiecks.

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Dann wird gerechnet. Die Brüche auf die Hauptnenner gebracht, im Grunde ist es einfach, weil aber die einzelnen Faktoren Produkte, wie etwa (n-k) -1! sind, wird es leicht unhandlich. Lesen Sie es bitte selbst oder glauben Sie mir, auch wenn man das in der Mathematik eigentlich nicht machen soll.

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Es wird addiert, auch das ist nicht schwierig, aber schnell unübersichtlich.

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Und dann dürfen wir den Binominalkoeffizienten verwenden, um den binomischen Lehrsatz zu formulieren.

Für alle reellen Zahlen a, b und alle natürlichen Zahlen n gilt:

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Das war es für heute. Haben Sie vielen Dank dafür, dass Sie dabei waren. Bis zum nächsten Mal.