21 Mehrstufige Zufallsexperimente: Worum geht es dabei?

Folie 0

Einen wunderschönen guten Tag Ihnen allen und herzlich Willkommen bei den Profis. Wieder einmal wollen wir über Mathematik reden. Heute stehen mehrstufige Zufallsexperimente im Vordergrund. Wir werden Beispiele betrachten, geeignete Darstellungen für ihre Ergebnisse anschauen und dabei schlagen wir auch gleich den Bogen, wie ihnen sinnvoll Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können.

Mit dieser Folge beginnen wir die „Stochastik für Profis“, aber keine Angst, auch die kann man ohne große Probleme verstehen.

Folie 1

Mehrstufige Zufallsexperimente stehen im Vordergrund. Um das vorzubereiten, klären wir zunächst einmal, was ein einstufiges Zufallsexperiment ist.

Ganz klar. Davon spricht man, wenn man ein Zufallsexperiment genau einmal durchführt.

Und das sind Beispiele. Man könnte sich beispielsweise für die Beliebtheit des Faches Mathematik in einer Schulklasse interessieren. Das ergibt eine Frage und eine Antwort. Oder aber man möchte wissen, ob die Kinder einer Schulklasse in einem Sportverein sind oder nicht. Einfache Frage und einfache Antwort, denn hier kann man sich nur zwischen „ja“ und „nein“ entscheiden.

Auch der einmalige Wurf einer Münze oder eines Würfels ist ein einstufiges Zufallsexperiment.

Genauso kann man natürlich einen medizinischen Test als ein solches Zufallsexperiment betrachten. Und dabei muss die Antwort nicht unbedingt nur auf „positiv“ und „negativ“ reduziert sein. Für die Blutgruppe gibt es beispielsweise die vier Möglichkeiten Null, A, B und AB. Und für den Blutdruck können wir die Möglichkeiten wirklich nicht aufzählen. Allerdings dürfte dieses Beispiel für die Schule nicht wirklich spannend sein.

Folie 2

Man interessiert sich also für die Beliebtheit von Mathematik in einer Schulklasse und stellt die schlichte Frage „Gefällt dir das Fach?“ mit den Antwortmöglichkeiten „ja“ oder „nein“.

So sieht das im Baumdiagramm aus: Supereinfach. Es gibt einen Knoten und zwei Zweige.

Folie 3

Was ist nun ein mehrstufiges Zufallsexperiment?

Auch ganz einfach. Dabei geht es um mehrere Zufallsexperimente, die in der Regel hintereinander ausgeführt werden. Man kann das gleiche Zufallsexperiment wiederholen, man kann aber auch unterschiedliche Zufallsexperimente so zusammenfassen.

Betrachten wir Beispiele.

Man könnte sich beispielsweise für die Beliebtheit von Deutsch und Mathematik in einer Schulklasse interessieren. Dann sind das zwei Befragungen, die man nacheinander durchführen würde.

Oder aber man möchte wissen, ob die Kinder in einer Schulklasse ein Instrument spielen und/oder ob sie in einem Sportverein sind. Wiederum zwei Befragungen oder zumindest zwei unterschiedliche Punkte in einem Fragebogen.

Auch die altbekannten Zufallsexperimente Wurf einer Münze oder eines Würfels bieten sich für die mehrfache Durchführung an.

Genauso kann man auch mehrfach medizinische Tests durchführen, etwa um eine Diagnose zu bestätigen. Oder um ein umfassendes Bild des Gesundheitszustands einer Person zu bekommen.

Folie 4

Schauen wir uns eines dieser Experimente genauer an.

Wir beginnen mit der Beliebtheit der Fächer Deutsch und Mathematik in einer Schulklasse. Tatsächlich reicht erst einmal diese kleine Erhebung, um prinzipielle Aspekte zu verstehen.

Man stellt die schlichte Frage „Gefällt dir das Fach?“ mit den Antwortmöglichkeiten „ja“ oder „nein“. Dann gibt es vier Möglichkeiten von Antworten. Eine Person kann genau eines bzw. keines der beiden Fächer oder aber alle beide mögen. Auch hier kann man die Möglichkeiten in einem Baumdiagramm darstellen.

„Person mag das Fach Deutsch“, „Person mag das Fach Deutsch nicht“ steht genauso wie „Person mag das Fach Mathematik“, „Person mag das Fach Mathematik nicht“ in den Knoten.

Folie 5

Genauso könnte man auch eine Vierfeldertafel für die Darstellung nutzen. Sie ist ebenfalls geeignet, die Ergebnisse gut lesbar darzustellen. Schauen wir uns das in einem praktischen Beispiel an.

Folie 6

Angenommen, die Fragen wurden in einer Klasse mit 28 Schülerinnen und Schülern gestellt. Dann könnte die fertig ausgefüllte Vierfeldertafel so aussehen:

Von den 28 Schülerinnen und Schülern mögen 14 sowohl Mathematik als auch Deutsch, 5 mögen nur Mathematik, 6 nur Deutsch und 3 mögen weder das eine noch das andere Fach. Dann kann man die Summe in Zeilen und Spalten bilden und bekommt so einzelne Aussagen. So gefällt beispielsweise 19 Schülerinnen oder Schülern das Fach Mathematik – ganz unabhängig davon, wie sie zum Fach Deutsch stehen. Schauen Sie sich die einzelnen Zahlen an und interpretieren Sie selbst. Eines ist allerdings sicher: Ganz unten rechts muss die Zahl 28 stehen, denn von allen Schülerinnen oder Schülern der Klasse gab es eine Antwort.

Folie 7

Wir hatten in die Vierfeldertafel die absoluten Zahlen eingetragen, interessant sind aber in der Regel gerade die relativen Werte. Sie lassen sich problemlos bestimmen, wenn man die jeweilige Werte durch 28 dividiert. Dann sieht die Vierfeldertafel aus, wie es hier abgebildet ist.

Die Summe der beiden Werte in der untersten Zeile bzw. der letzten Spalte muss dann offenkundig 1 sein.

Folie 8

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Wir werfen eine Münze zweimal und interessieren uns dafür, ob Kopf oder Zahl fällt.

Es gibt auch hier vier mögliche Ausgänge des Experiments:

• Man wirft in beiden Versuchen „Kopf“.
• Man wirft in beiden Versuchen „Zahl“.
• Man wirft erst „Kopf“ und dann „Zahl“.
• Man wirft erst „Zahl“ und dann „Kopf“.

Folie 9

Auch hier kann man – wenn man das Zufallsexperiment mehrfach durchführt – die Ergebnisse sinnvoll in einer Vierfeldertafel notieren.

Hier ist das Ergebnis von 100 Versuchen notiert und diese Zahl findet sich – ganz klar – in der Zelle unten rechts.

Folie 10

Offensichtlich kann man auch aus diesen absoluten Zahlen problemlos relative Häufigkeiten machen. Dieses Mal ist es noch einfacher, denn die Division durch 100 ist wirklich unkompliziert.

Folie 11

Auch dieses Zufallsexperiment ist zweistufig. Wir haben es schon einmal betrachtet. Wir werfen einen Würfel zweimal und interessieren uns dafür, ob mindestens einmal eine 6 geworfen wird.

Es gibt wiederum vier mögliche Ausgänge des Experiments:

• Man wirft in beiden Versuchen eine 6.
• Man wirft in keinem der Versuche eine 6.
• Es klappt nur beim ersten Wurf.
• Es klappt nur beim zweiten Wurf.

Folie 12

Wir können auch hier ein Baumdiagramm nutzen, das sehr gut die verschiedenen Möglichkeiten für den Ausgang des Experiments zeigt.

Folie 13

Und wenn es noch etwas komplexer wird? Betrachten wir ein Beispiel.

Wir werfen einen Würfel dreimal und interessieren uns dafür, ob mindestens eine 6 geworfen wird. Das sind offensichtlich die prinzipiellen Ergebnisse:

• Man wirft in allen Versuchen eine 6.
• Man wirft in keinem der Versuche eine 6.
• Es klappt nur beim 1. Wurf.
• Es klappt nur beim 2. Wurf.
• Es klappt nur beim 3. Wurf.
• Es klappt beim 1. und beim 2. Wurf.
• Es klappt beim 1. und beim 3. Wurf.
• Es klappt beim 2. und beim 3. Wurf.

Folie 14

Welche Darstellungen bieten sich in diesem Fall für die möglichen Ergebnisse an?

Folie 15

Es ist sehr praktisch, dass man ein Baumdiagramm immer nutzen kann. Das dreistufige Zufallsexperiment hat – nicht überraschend – eine Ebene mehr als das zweistufige Zufallsexperiment.

Folie 16

Allerdings bedeutet Mehrstufigkeit nicht unbedingt, dass es zu jedem Teilergebnis ein weiteres Zufallsexperiment gibt.

So wird etwa beim Test auf COVID-19 in der Regel zuerst ein Antigen-Test und nur bei positivem Ergebnis dann auch ein PCR-Test gemacht. Das kann man problemlos in einem Baumdiagramm darstellen. Es hat die notwendigen Knoten, genau da, wo eine Fortsetzung möglich ist. Eine Vierfeldertafel bietet sich hier ganz offensichtlich nicht an.

Folie 17

Lassen Sie uns kurz zusammenfassen, worüber wir heute geredet haben.

Wir haben verschiedene mehrstufige Zufallsexperimente betrachtet. Es handelt sich dabei um eine Hintereinanderausführung von einfachen, also einstufigen Zufallsexperimenten.

Es ging uns heute vor allem um das Verständnis des Begriffs und um geeignete Darstellungen.

Wir wissen nun, dass es bei allen Experimenten sinnvoll und möglich ist, die Ergebnisse in einem Baumdiagramm darzustellen. Aber nur bei zweistufigen Zufallsexperimenten ist auch eine Vierfeldertafel möglich – und das auch nur dann, wenn die beiden Experimente unabhängig voneinander sind.

Folie 18

Das war es für heute. Haben Sie vielen Dank für Ihr Interesse. Bis zum nächsten Mal!