22 Mehrstufige Zufallsexperimente: Vom Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.

Folie 0

Wir reden auch heute wieder über Mathematik. Seien Sie dazu herzlich willkommen.

Folie 1

Über mehrstufige Zufallsexperimente haben wir bereits geredet. Wir werden uns heute etwas intensiver damit befassen, wie es bei diesen Experimenten mit dem Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten aussieht.

Natürlich ist es eine Möglichkeit, sie empirisch zu bestimmen und das dürfte bei manchen Fragestellungen – wir denken an den Wurf einer Reißzwecke – auch die einzige Möglichkeit sein. Man kann aber auch in manchen Fällen theoretische Überlegungen anstellen. Dann wird es darum gehen, die möglichen und die günstigen Fälle zu bestimmen und eine theoretische Wahrscheinlichkeit abzuleiten.

Es geht heute insbesondere – aber nicht nur – um diesen zweiten Fall und in jedem Fall darum, wie man die Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperiments geeignet darstellen kann.

Folie 2

Lassen wir zunächst die Empirie zu Wort kommen. Dieses Beispiel kennen Sie bereits aus der vorigen Folge.

Wir haben eine Klasse befragt, ob die Schülerinnen und Schüler das Fach Deutsch bzw. das Fach Mathematik mögen. Das sind die Ergebnisse. Warum sollte man nicht die empirisch gewonnenen relativen Zahlen als Wahrscheinlichkeiten deuten.

Greifen wir etwa blind eine Person aus der Klasse heraus, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Deutsch UND Mathematik mag ganz genau ½ und dass sie überhaupt Mathematik mag, 0,68 oder 68%. Wir haben hier keine Möglichkeit, auf einem anderen Weg als der Befragung zu Ergebnissen zu kommen. Manchmal kann man aber auch bei mehrstufigen Zufallsexperimenten aus einer theoretischen Perspektive heraus zu Wahrscheinlichkeiten kommen.

Folie 3

Betrachten wir ein Beispiel, nämlich den zweifachen Wurf einer Münze.

Dann kann man Kopf oder Zahl im 1. Versuch genauso wie im 2. Versuch werfen. Die Wahrscheinlichkeit, in beiden Versuchen „Kopf“ zu werfen, ist – altbekannt – 25% oder 1/4.

Man muss in diesem Fall nicht unbedingt den Versuch durchführen, sondern kann die Tabelle auch aus einer theoretischen Sicht heraus ausfüllen. In jeweils einem Viertel der Fälle sollte man bei häufiger Wiederholung eine der vier möglichen Reihenfolgen bekommen. Und das kann man offensichtlich als Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Ereignisses deuten.

Ich habe absichtlich ein Experiment gewählt, bei dem so langweilige Zahlen herauskommen. Sie sind langweilig, aber so einfach, dass man den Zusammenhang sofort versteht. Die Ereignisse „Kopf“ und „Zahl“ treten bei einem einzelnen Wurf mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 auf, jede Kombination von zwei Würfen mit der Wahrscheinlichkeit 1/4, denn es gibt ja genau vier verschiedene Möglichkeiten, wenn man – noch einmal – die Reihenfolge berücksichtigt.

Folie 4

Genauso klappt der theoretische Blick in diesem Beispiel.

Wir werfen einen Würfel zweimal und interessieren uns dafür, ob mindestens eine “6“ geworfen wird. Es gibt auch hier vier mögliche Ausgänge des Experiments:

• Man wirft in beiden Versuchen eine „6“.
• Man wirft in keinem der Versuche eine „6“.
• Es klappt nur beim ersten Wurf.
• Es klappt nur beim zweiten Wurf.

Folie 5

Natürlich kann man ganz real einen Würfel zweimal hintereinander werfen und das sollte man auf jeden Fall oft genug machen.

Aber auch hier gilt: Wir müssen nicht unbedingt das Zufallsexperiment konkret durchführen. Man kann die Tabelle auch aus einer theoretischen Sicht heraus ausfüllen. Nur welche theoretische Sicht ist das? Schauen wir uns das systematisch an.

Folie 6

Im ersten Versuch gibt es eine Möglichkeit, die „6“ zu werfen und es gibt fünf Möglichkeiten, keine „6“ zu werfen.

Im zweiten Versuch gibt es eine Möglichkeit, die „6“ zu werfen und fünf Möglichkeiten, keine „6“ zu werfen. Natürlich ganz genauso.

Um die Wahrscheinlichkeiten theoretisch zu bestimmen, kann hier offensichtlich das uns gut bekannte allgemeine Zählprinzip zur Anwendung kommen.

Folie 7

Betrachten wir die Situation im Baumdiagramm. Es gibt insgesamt 36 unterschiedliche Kombination von zwei natürlichen Zahlen zwischen 1 und 6. Darunter ist eine Möglichkeit, dass zweimal hintereinander eine 6 geworfen wird. Es gibt fünf Möglichkeiten zunächst eine 6 und dann eine andere Zahl zu werfen sowie fünf Möglichkeiten zuerst eine der Zahlen zwischen 1 und 5 und dann eine 6 zu werfen. Schließlich gibt es 5x5=25 Möglichkeiten, beim zweimaligen Werfen keine 6 zu bekommen.

Folie 8

Diese absoluten Zahlen kann man in eine Vierfeldertafel eintragen, was das Ergebnis wieder sehr übersichtlich darstellt. Und wieder besteht die Summe unten rechts aus allen 36 Möglichkeiten.

Folie 9

Wenn wir daraus die relativen Häufigkeiten bestimmen, dann kommen wir problemlos auf theoretische Wahrscheinlichkeiten in diesem zweistufigen Zufallsexperiment.

Man sieht, dass diese Darstellung sehr übersichtlich ist und eine leichte Kontrolle der Werte ermöglicht.

Folie 10

Auch dieses Beispiel kennen Sie schon.

Wir werfen einen Würfel dreimal und interessieren uns dafür, ob mindestens eine „6“ geworfen wird. Das sind die prinzipiellen Ergebnisse.

• Man wirft in allen Versuchen eine „6“.
• Man wirft in keinem der Versuche eine „6“.
• Es klappt nur beim 1. Wurf.
• Es klappt nur beim 2. Wurf.
• Es klappt nur beim 3. Wurf.
• Es klappt beim 1. und beim 2. Wurf.
• Es klappt beim 1. und beim 3. Wurf.
• Es klappt beim 2. und beim 3. Wurf.

Folie 11

Können wir auch hier Wahrscheinlichkeiten zuordnen? Versuchen wir doch, die Situation wieder mit Hilfe des allgemeinen Zählprinzips in den Griff zu bekommen.

Folie 12

Wir haben hier die Anordnung der Situation in einem Baumdiagramm. Man kann – wie bisher immer – die Äste mit den absoluten Werten beschriften. Das ist jeweils die 1 für den Wurf einer „6“ bzw. die 5 für den Wurf einer anderen Zahl. Zum Schluss zählt man zusammen. Es gibt von 216 möglichen Würfen genau einen, bei dem dreimal die „6“ auftritt. Es gibt 125 Möglichkeiten, dass die „6“ beim dreimaligen Werfen gar nicht vorkommt. Und es gibt 3 mal 5 gleich 15 Möglichkeiten, bei denen zweimal die „6“ geworfen wird. Schließlich 3 mal 25 gleich 75 Möglichkeiten für nur eine „6“ und zwei andere Zahlen.

Jede der Möglichkeiten kann eingetragen werden, es werden einfach drei Stufen gebraucht. Die theoretisch möglichen unterschiedlichen Fälle summieren sich dieses Mal auf 6³ = 216.

Eines noch: Ganz offensichtlich kann man hier keine Vierfeldertafel für die Darstellung benutzen. Sie ist tatsächlich nur für zweistufige Zufallsexperimente geeignet.

Folie 13

Das sind die Wahrscheinlichkeiten, bei denen hier natürlich die Reihenfolge des Werfens eingeht. Sie ist 1/216 für den dreimaligen Wurf einer „6“ oder 5/216, dass nach zwei Sechsen im dritten Wurf eine andere Zahl fällt. Wenn man sich nur dafür interessiert, ob genau zweimal eine „6“ geworfen wurde, dann darf man 5/216 + 5/216 + 5/216 = 15/216 rechnen.

Folie 14

Fällt Ihnen etwas auf? Multiplizieren erweist sich hier als eine nützliche Kulturtechnik. Die Multiplikation entsprechender Zahlen an den Ästen führt zum Ergebnis am dadurch bestimmen Knoten. 1/6 • 1/6 • 1/6 = 1/216, 1/6 • 5/6 • 5/6 = 25/216 usw. Wir werden im nächsten Beispiel darauf zurückkommen.

Folie 15

Lassen Sie uns eine bekannte Situation unter der neuen Überschrift der mehrstufigen Zufallsexperimente noch einmal betrachten.

In einer Urne sind zwei rote und drei blaue Kugeln. Wir ziehen zweimal mit Zurücklegen. Dann gibt es insgesamt 25 mögliche Ergebnisse, die sich durch Abzählen leicht bestimmen lassen.

Folie 16

Es ist sinnvoll, in diesem Fall

p(RR) = 4/25, p(BB) = 9/25 und p(RB) = 12/25

zu setzen. Das kann man durch Zählen einsehen. Aber auch in diesem Fall klappt es wieder mit der Multiplikation.

Ganz offensichtlich birgt auch die neue Betrachtungsweise keine wirklichen Überraschungen.

Folie 17

Wir haben es gesehen. Bei den betrachteten mehrstufigen Zufallsexperimenten lassen sich die Wahrscheinlichkeiten über das allgemeine Zählprinzip bestimmen. Doch letztendlich wird jeweils nur multipliziert. Und daraus kann man eine Regel ableiten, die Pfadregel Nr. 1:

Wir betrachten ein mehrstufiges Zufallsexperiment, stellen es im Baumdiagramm dar, tragen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten an den jeweiligen Ästen ein. Dann berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Versuchsausgangs, also eines Elementarereignisses, durch das Produkt der Wahrscheinlichkeiten an den entsprechenden Ästen.

Folie 18

Kontrollieren Sie und multiplizieren Sie. Es klappt offensichtlich.

p(blau, blau) = 3/5 • 3/5 = 9/25

p(rot, rot) = 2/5 • 2/5 = 4/25

p(blau, rot) = 3/5 • 2/5 = 6/25

p(rot, blau) = 2/5 • 3/5 = 6/25

Folie 19

Und wenn man zusammenfasst und die Reihenfolge keine Rolle spielt, dann ist offensichtlich p(einmal rot und einmal blau) = 6/25 + 6 /25 = 12/25. Es wird addiert.

Folie 20

Das Ergebnis kann man als Pfadregel Nr. 2 formulieren.

Wir betrachten ein mehrstufiges Zufallsexperiment, stellen es im Baumdiagramm dar und tragen die Wahrscheinlichkeit für einen Versuchsausgang, also ein Elementarereignis, am Ende des Pfades ein. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Ereignis die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis führen.

Folie 21

Ist das schwierig zu verstehen? Nein, es ist nur nicht ganz einfach, den Sachverhalt mathematisch wirklich wasserdicht zu formulieren.

Schauen wir uns also noch ein Beispiel an.

Wir würfeln zweimal und bilden die Augensumme. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens „9“ ist?

Folie 22

Ein Baumdiagramm hilft, den Sachverhalt darzustellen. Wir tragen – hier als rote Knoten zu sehen – zunächst die sechs möglichen Ergebnisse ein. Von ihnen gehen jeweils wieder sechs Pfade aus, aber nicht alle führen zu einer Augensumme von 9 oder größer. Wir zeichnen nur diese ein, zählen, wie viele es sind und multiplizieren diese Anzahl mit 1/6 • 1/6 = 1/36.

Beide Pfadregeln sind dabei zur Anwendung gekommen.

Folie 23

Klappen die Pfadregeln auch beim Ziehen ohne Zurücklegen? Aber sicher.

Nehmen wir an, in einer Urne sind zwei rote und drei blaue Kugeln. Wir ziehen eine Kugel aus der Urne, legen sie nicht zurück und ziehen noch einmal eine Kugel. Sie sehen die Situation in den Baumdiagrammen, die Möglichkeiten und damit die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen sind leicht zu bestimmen.

Folie 24

Wenn wir multiplizieren, dann kommen wir offensichtlich auf diese Zahlen. Das Ziehen von zwei roten Kugeln sollte in 2/20 oder 1/10 der Fälle auftreten. Alle anderen Kombinationen wird die Wahrscheinlichkeit 6/20, also 3/10 zugeordnet.

Folie 25

Und auch hier kann man addieren, wenn man sich nicht für die Reihenfolge interessiert. Es ist p(einmal rot und einmal blau) = 6/20 + 6 /20  = 12/20 = 3/5.

Folie 26

Weil es gerade so passt, lassen Sie uns noch kurz den Begriff des Laplace-Experiments wiederholen.

Der Wurf mit einem Würfel ist ein Laplace-Experiment. Die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, und 6 treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 1/6 auf.

Das zweimalige Werfen eines Würfels ist ein Laplace-Experiment (wenn man auf die Reihenfolge achtet). Die Ergebnisse (1,1), (1,2), (1,3), …, (3,1), (3,2), …,(3,6), (4,1), … (6,5), (6,6) treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von 1/36 auf.

Das Bestimmen der Augensumme beim zweimaligen Werfen eines Würfels ist hingegen kein Laplace-Experiment. Die Summe „2“ gibt es nur, wenn zweimal die “1“ geworfen wird. Für die Summe „7“ gibt es die Möglichkeiten „1+6“, „2+5“, „3+4“, „4+3“, „5+2“ und „6+1“, und das sind deutlich mehr Möglichkeiten.

Folie 27

Was haben wir in dieser Folge gemacht? Nun, wir haben mehrstufige Zufallsexperimente betrachtet und überlegt, wie es mit der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis aussieht.

Es waren zum Teil Experimente, bei denen man über das allgemeine Zählprinzip eine theoretische Häufigkeit für die verschiedenen Ergebnisse festlegen kann. Dann kann man entsprechend auch Wahrscheinlichkeiten zuordnen.

Bei allen Experimenten scheint es sinnvoll, die Ergebnisse in einem Baumdiagramm darzustellen. Wir haben so eine Darstellung, mit deren Hilfe die Struktur des Experiments übersichtlich wird.

Nur bei zweistufigen Zufallsexperimenten ist auch eine Vierfeldertafel hilfreich und kann Grundlage für die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten sein.

Folie 28

Das war es für heute. Haben Sie vielen Dank, dass Sie dabei waren. Ich freue mich auf Sie beim nächsten Mal, wenn wir wieder über Mathematik reden.