1          Grundlagen der Stochastik: Von wunderbaren Würfeln.

Folie 0

Über Mathematik muss man reden ... ganz klar. Ganz besonders gilt das für die Stochastik, die zunehmend an Bedeutung gewinnt. Kenntnisse zur Stochastik sind nützlich, wenn man die sich ändernde Welt um uns herum besser verstehen will. Fangen wir also an. Dabei geht es – unter anderem – um wunderbare Würfel. Lassen Sie sich überraschen.

Folie 1

Um noch konkreter zu werden: Wir beschäftigen uns heute mit Statistik, einem Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um Daten geht. Wie kann man Daten erheben? Warum erhebt man Daten? Gibt es Gesetzmäßigkeiten, die man nutzen kann? 

Folie 2

Wir haben es gerade schon angesprochen: In der Statistik geht es um den Umgang mit Daten. Vor allem geht es aber um den richtigen Umgang mit Daten.

Betrachten wir ein Beispiel. In einer Klasse soll die Klassensprecherin oder der Klassensprecher gewählt werden. Anna, Laura, Max und Uli haben sich zur Wahl gestellt, das Ergebnis sehen Sie auf der Folie. Selbst für junge Schülerinnen und Schüler ist klar, dass Anna die neue Klassensprecherin wird, da sie die meisten Stimmen bekommen hat. Uli liegt an zweiter Stelle und wird ihr Stellvertreter. Jedes andere Ergebnis wäre gerade nicht der richtige Umgang mit den Daten und würde von der Klasse nicht akzeptiert.

Was lernen wir daraus? Ganz einfach: Statistik in der Schule kann auf alltäglichen Beispielen in diesem Kontext aufbauen.

Folie 3

Auch das nächste Beispiel ist einfach und basiert auf einer Erhebung von Daten. Grundlage ist eine Umfrage, wie die Schülerinnen und Schüler in die Schule kommen. Ganz offensichtlich nutzen in dieser Schule die meisten Schülerinnen und Schüler den Bus, an zweiter Stelle steht das Fahrrad, an dritter das Auto und die wenigsten Schülerinnen und Schüler kommen zu Fuß.

Man kann hier sehen, wie nützlich eine gute Darstellung von Daten ist. Im hier dargestellten Kreisdiagramm kann man zwar die einzelnen Zahlen nicht mehr ablesen, aber mit einem Blick sehen, dass Fahrrad und Bus einen sehr hohen Anteil der angegebenen Transportmöglichkeiten ausmachen.    

Folie 4

Aber wozu braucht man überhaupt Daten? Zum Beispiel, um Entscheidungen in mehr oder weniger schwierigen Situationen auf einer soliden Grundlage zu treffen. Der Schule, um die es auf der letzten Folie ging, könnte man etwa datenbasiert raten, für Fahrradparkplätze zu sorgen.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel und fragen, welche Verkehrsmittel eigentlich sicher sind.

Folie 5

Eine geeignete Datenbasis kann man hier beim Statistischen Bundesamt bekommen. Nach diesen Angaben wurde die Tabelle erstellt, die Auskunft über die Verkehrstoten im Jahr 2018 gibt. Offensichtlich waren die meisten mit einem Personenkraftwagen unterwegs, aber auch bei Krafträdern ab 50 ccm, beim einfach zu Fuß gehen und beim Fahrrad sind die Zahlen hoch. Man sieht sofort, dass Bus, Bahn und Straßenbahn offensichtlich sehr sichere Verkehrsmittel sind.

Sicherlich wäre es hier nützlich zu wissen, wie viele Personen diese Verkehrsmittel nutzen, also absolute und relative Zahlen zu vergleichen. Wir lassen das – um nicht gleich zu kompliziert zu werden – für den Moment außer Acht.

Folie 6

Es gibt viele Möglichkeiten, Daten zu erheben. Dazu gehört auch die Beobachtung. Möchte man wissen, ob eine Kreuzung überlastet ist, dann bietet es sich an zu zählen, wie viele Fahrzeige in einer Ampelphase an der Kreuzung stehen und wie viele den Weg über die Kreuzung finden.

Folie 7

Alles kalter Kaffee? Klar, auch den kann man für eine Datenerhebung nutzen.

Und das habe ich gemacht. Sie sehen im Diagramm auf der rechten Seite was passiert, wenn man heißen Kaffee ungefähr 70 Minuten lang abkühlen lässt. Von etwa 80 Grad geht es herunter auf etwa 30 Grad. Aber ich würde Sie gerne an dem Prozess teilhaben lassen.

Folie 7a

Das ist der Kaffee. Das ist das Thermometer, das ich in den Kaffee gehalten habe. M an muss ich etwas anstrengen, aber man sieht die Temperatur von knapp 80 Grad. Und man sieht nun, wie der Kaffee in Originalgeschwindigkeit abkühlt. Das geht zu Beginn recht schnell. Er ist jetzt auf 78 Grad, geht herunter auf 77,8 und 77,7.

Nun habe ich den Zeitraffer eingestellt, denn es ist doch recht langweilig, dem Kaffee beim Abkühlen mehr als eine Stunde zuzuschauen. Nach knapp 70 Minuten sind es dann etwas weniger als 30 Grad.

Man kann aber noch etwas erkennen und dazu muss man kurz zurückblättern. Es ist tatsächlich eine schöne Exponentialfunktion, die sich so ergibt.

Sie sehen, das kann man mit schlichten Hausmitteln machen und im Prinzip auch in jedem Klassenzimmer.  

Folie 8

Machen wir noch ein Experiment, lassen Sie uns würfeln. Wir werfen ihn 10mal, 100mal, 1000mal und fragen uns, ober auf jeden Fall eine 6 bei den Ergebnissen sein wird. Was denken Sie?

Folie 9

Ich habe tatsächlich gewürfelt. Sicherlich war es Glück, das schon beim zehnmaligen Würfeln alle sechs Zahlen vorkamen, also auch die 6. Bei hundert Würfen hätte man das vermutlich erwartet. Hätte man auch erwartet, dass die 2 relativ abgeschlagen dasteht? Vermutlich eher nicht. Aber diese Erwartung war dem Zufall offensichtlich egal.

Folie 10

Was Sie hier sehen, das ist nun das Ergebnis für 1000 Würfe. Eine Strichliste bot sich da nicht mehr an, aber wir sehen, dass diese Zahlen dichter beieinander liegen. Insbesondere die 2 hat sichtlich aufgeholt.

Sie wissen ja, da bei vielen Spielen die 6 eine Schlüsselrolle spielt, hat man manchmal den Eindruck, sie seltener zu werfen. Nein, das ist in diesem Beispiel ganz und gar nicht der Fall.

Folie 11

Es war offensichtlich ähnlich schwierig, eine „6“ oder jede andere Zahl zu werfen. Einverstanden?

Haben wir also „bewiesen“, dass alle Zahlen zwischen 1 und 6 ungefähr gleich häufig nach dem Würfeln oben liegen? Nicht wirklich. Aber die folgende Annahme ist plausibel:

Wirft man einen nicht manipulierten Würfel n Mal, so sollte bei großem n jedes der Ereignisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 in etwa  𝑛/6  Mal auftreten.

Werfen mit einem Würfel ist ein LAPLACE-Experiment. Bei einem solchen Experiment treten alle Ergebnisse on the long run gleich oft auf.

Folie 12

Das ist Pierre-Simon de Laplace, ein Mathematiker, der am Ausgang des 18. Und zu Beginn des 19. Jahrhunderts gewirkt hat. Insbesondere zur Stochastik hat er wichtige Beiträge geleistet.

Folie 13

Für Laplace-Experimente gilt das „Gesetz der großen Zahlen“: Wenn man ein Zufallsexperiment ganz häufig durchführt, dann nähert sich die relative Häufigkeit an die theoretische Wahrscheinlichkeit an (und diesen Begriff verwenden wir jetzt einfach intuitiv).

Einfach gesprochen: Wir brauchen – wie bei unserem Würfeln – sehr viele Versuche, um einigermaßen sicher zu sein, dass eine Vermutung stimmt.

Folie 14

Schauen wir zurück. Wir haben

• eine Klassensprecherin / einen Klassensprecher gewählt
• eine Umfrage zum Schulweg gemacht
• die Sicherheit von Verkehrsmitteln betrachtet
• den Verkehr auf einer Kreuzung beobachtet
• Kaffee beim Kaltwerden zugesehen und
• (enthusiastisch) gewürfelt.

Wir haben dabei auf sehr unterschiedliche Art und Weise sehr unterschiedliche Daten gewonnen und auch unterschiedlich dargestellt. Eines steht also fest: Statistik bringt Abwechslung in den Alltag – nicht nur in der Schule.

Folie 15

Das war eine kleine Einführung in die Datenerhebung. Danke fürs Zuhören und für Ihr Interesse.