2          Grundlagen der Stochastik: Von grünen und gelben Gummibärchen.

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Herzlich willkommen zur zweiten Folge des „Redens über Mathematik“. Wir werden heute über ein weiteres Experiment reden und dabei insbesondere einen wichtigen Unterschied zwischen Spielwürfeln und Gummibärchen erarbeiten. Und ganz ehrlich: Hätten Sie gewusst, was die beiden gemeinsam haben? Aber alles der Reihe nach.

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Es gibt wichtige und weniger wichtige Probleme. Urteilen Sie selbst, in welche Kategorie dieses „Problem der Woche“ gehört, das ich tatsächlich so im Internet gefunden habe. Da fragt sich Leo, warum es so wenig grüne und rote Gummibärchen in den Tüten gibt. Er mag sie am liebsten, packt aber viel häufiger gelbe, orange oder – wie er sich ausdrückt – diese blöden Weißen aus. Lisa widerspricht ihm. Sie liebt orange und gelb und findet die nun wiederum viel seltener als die roten Gummibärchen.

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Offensichtlich haben wir es mit einem Problem zu tun, bei dem die Datenlage schwierig, vielleicht sogar widersprüchlich ist.

Ist in jeder Tüte mit Gummibärchen auch ein gelbes Gummibärchen? Oder noch besser ganz allgemein: Gibt es eigentlich genauso viele gelbe wie grüne Gummibärchen oder wie Gummibärchen irgendeiner Farbe in den Tüten?

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Keine Frage, wir werden um ein Experiment nicht herumkommen. Und das ist die Basis: Gummibärchen gibt es in sechs Farben, nämlich weiß, gelb, orange, hellrot, dunkelrot und grün.

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Also packen wir aus. Wir bestimmen, wie viele Gummibärchen überhaupt in einer Tüte sind und zählen selbstverständlich in Bezug auf die unterschiedlichen Farben.

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Zwölf Beutel sollten eine halbwegs gute Datenbasis sein. Wir packen aus, widerstehen dem Gefühl, man könnte doch wenigstens eines in den Mund stecken und zählen. Wie verteilen sich die Gummibärchen auf die verschiedenen Farben?

Wir öffnen den ersten Beutel. Darin ist ein bisschen rot, bisschen hellrot, einen Orangenen sehe ich auch, grün und etwas gelb. Es sind also noch nicht alle Farben vorhanden. Der zweite Beutel kommt hinzu. Es sind ein bisschen dunkelrote dabei, grüne, ein bisschen gelb, ein bisschen orange und hier da ist der weiße. Jetzt sind wenigstens alle sechs Farben vorhanden. Die müssen jetzt sortiert werden, so dass man hinterher sehen kann von welcher Farbe tatsächlich die meisten oder die wenigsten da sind, oder ist alles ganz ausgewogen. Und wir kommen zumindest schon zu dem Ergebnis: Rot ist nicht viel und weiß tatsächlich die meisten dabei.

Lassen wir die Zwischenergebnisse und nehmen das ganze Dutzend und gehen zum amtlichen Endergebnis dieser Datenerhebung.

Zunächst einmal sieht man, dass auch die Anzahl der Gummibärchen in den Tüten unterschiedlich war. Das habe ich nicht im Einzelnen gezählt, aber insgesamt die Summe über alle Gummibärchen in i Tüten gi von 1 bis 12 ist gleich 102, sodass sich ein Mittelwert mi von 102 geteilt durch 12 gleich 8,5 ergibt.

Sie sehen auf dieser Folie im linken Teil den Zustand nach acht Tüten, in der Mitte den Zustand nach 10 Tüten und auf der rechten Seite den Zustand nach 12 Tüten. Man sieht, dass tatsächlich die dunkelroten und die grünen nicht in der Mehrheit sind und tatsächlich die weißen und die gelben häufiger auftreten.

In tabellarischer Form sieht es dann so aus. Das macht natürlich einen wesentlich seriöseren Eindruck als nur die Auflistung der Gummibärchen, obwohl ich Sie darauf aufmerksam machen möchte, ich hatte sie in fünfer Blöcke aufgeteilt, was nicht nur das Zählen erleichtert, sondern auch eine gewisse mathematische Optik beinhaltet.

Sie haben es gesehen, es gibt insgesamt 47 rote, also hellrote und dunkelrote, bzw. grüne Gummibärchen. Hingegen sind 33 gelb oder orange. Wenn man allerdings in diesen Block die 22 weißen rechnet, dann heißt es 47 zu 55. Macht nun doch einen relativ gerechten Eindruck.

Aber sieht das immer so aus? Gilt diese Verteilung für beliebige zwölf Tüten? Haben wir die Verteilung damit „bewiesen“?

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Eher nicht. Was sie hier sehen, das sind andere Verteilungen. Sie beruhen allerdings auf etwas kleineren Anzahlen. Links sind es 9 zu 16, es besteht also ein klarer Mangel an roten und grünen Gummibärchen. Rechts sind es 15 zu 11, rote und grüne Bären sind im Vorteil. Übrigens sind auch die Sortierungen aus dem realen Leben gegriffen und waren daher mehr oder minder einfach zu zählen.

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Ist Ihnen etwas aufgefallen? Nun ja, Gummibärchen ziehen ist fast ein wenig wie würfeln. In beiden Fällen gibt es sechs mögliche Ergebnisse, nämlich entweder die Zahlen von 1 bis 6 oder die sechs verschiedenen Farben.

Gibt es auch einen Unterschied zwischen dem Wurf mit einem Spielwürfel und dem Ziehen eines Gummibärchens aus einer Tüte?

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Nun, beim Würfeln gibt es eine theoretische Annahme:

Wirft man einen nicht manipulierten Würfel n Mal, so sollte bei großem n  jedes der Ereignisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 in etwa  𝑛/6  Mal auftreten.

Werfen mit einem Würfel ist ein Laplace Experiment. Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.

Für das Ziehen eines Gummibärchens aus einer Tüte gibt es keine theoretische Annahme. Es hilft nur eins, um die Verteilung zu bestimmen: den Hersteller anrufen, der sollte es wissen 😀.

Das Ziehen eines Gummibärchens aus einer Tüte ist KEIN Laplace-Experiment.

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Es gibt zahlreiche weitere Beispiele für Laplace-Experimente. Dazu gehören etwa

• das Werfen einer Münze, wobei Kopf oder Zahl auftreten können;
• das Ziehen beim Zahlenlotto, bei dem eine Kugel aus zunächst 49 Kugeln gezogen wird;
• das Treffen einer Zahl zwischen 0 und 36 beim Roulette, denn auch da rollt die Kugel ohne irgendwelche Prioritäten;
• das Treffen des Pfeils auf eine der vier Farben beim Glücksrad, das Sie auf der rechten Seite sehen.

Weitere Beispiele für Zufallsexperimente, die keine Laplace-Experimente sind

• das Werfen einer Reißzwecke, denn hier gibt es zwar nur zwei Möglichkeiten, die treten aber nicht gleich häufig auf;
• das Werfen einer Streichholzschachtel, wobei es drei prinzipielle Möglichkeiten gibt, die unterschiedlich schwierig zu erreichen sind.

Sicherlich fallen ihnen weitere ein. Und viele davon kann man recht einfach praktisch durchführen.

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Das war es für heute. Haben Sie vielen Dank fürs Zuhören und für Ihr Interesse.