5          Permutationen und was sie mit Pferderennen zu tun haben.

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Hallo und herzlich willkommen zu einer neuen Folge, in der wir über Mathematik reden. Heute geht es um Permutationen. Sie sind ein wichtiges Konzept nicht nur in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung, sondern auch in der Algebra. Wir reden also über ein grundlegendes mathematisches Konzept. Aber auch dieses Konzept kennt wichtige Anwendungen. Wir werden insbesondere sehen, was Permutationen mit Pferderennen verbindet.

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Was ist eine Permutation? Es handelt sich dabei um einen zentralen Begriff der Kombinatorik und eine ihrer Grundlagen. Lassen Sie uns mit einem Beispiel beginnen, um den Begriff und seinen Inhalt zu verstehen.

Hier ist eine Tafel und hier sind die Kinder Anna, Maria, Julius und Robert. Sie wollen gemeinsam eine Mathematikaufgabe lösen. Wie viele Möglichkeiten haben sie, sich nebeneinander vor der Tafel aufzustellen?

Um diese Zahl zu ermitteln, benötigen wir ein neues mathematisches Werkzeug. Aber keine Sorge, es ist ein sehr einfaches Werkzeug.

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Es sind vier Kinder, also gibt es zunächst einmal für sie vier Plätze. Wir nummerieren sie und Sie können die Nummern auf der rechten Seite über dem Bild sehen.

Für die Position mit der Nummer 1 gibt es 4 Möglichkeiten. 

Für die Position mit der Nummer 2 gibt es 3 Möglichkeiten. 

Für die Position mit der Nummer 3 gibt es 2 Möglichkeiten. 

Für die Position mit der Nummer 4 gibt es nur noch eine Option.   

Das Ergebnis ist damit 4 mal 3 mal 2 mal 1 gleich 24. Somit gibt es 24 verschiedene Möglichkeiten.

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Betrachten wir eine andere Situation, die aber dem gleichen Grundgedanken folgt. Marta war in San Francisco und hat eine Menge Fotos gemacht. Sie möchte drei Bilder im Flur aufhängen, aber sie weiß nicht, in welcher Reihenfolge sie das tun soll.

Wie viele Möglichkeiten hat sie, die Bilder zu arrangieren?

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Hier sind alle Möglichkeiten. Sie sehen, dass auch diese Aufgabe auf dem Prinzip der Permutation beruht.

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Offensichtlich gibt es wieder ...

            … 3 Möglichkeiten für den Platz mit der Nummer 1,

            … 2 Möglichkeiten für den Platz mit der Nummer 2

            … und nur 1 Möglichkeit für den Platz mit der Nummer 3.

Also gibt es 3 • 2 • 1 = 6 Möglichkeiten, drei Bilder nebeneinander anzuordnen.

 

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Wie viele Möglichkeiten gibt es für ein Gruppenfoto mit diesen Personen? Noch einmal erkennen wir das gleiche Prinzip. Es sind fünf Personen, also gibt es 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 verschiedene Möglichkeiten der Anordnung. Ja, ich weiß. Man muss eigentlich nicht "mal 1" hinzufügen, denn das Ergebnis wird nicht mehr verändert. Aber so macht man es eben in der Mathematik.

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Das Prinzip heißt – wir haben das oben schon erwähnt – Permutation. Das ist die allgemeine Form:

Wenn eine Menge n Elemente hat, dann gibt es n • (n-1) • (n-2) • ... •1 verschiedene Möglichkeiten, diese Elemente anzuordnen. Jede mögliche Anordnung wird als Permutation bezeichnet.

Wir schreiben kurz n • (n-1) • (n-2) • ... • 1 =: n!  

n! wird "n Fakultät " gesprochen.

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Manchmal – zum Beispiel in der Algebra – liest man es so:

Sei K eine endliche Menge. Dann heißt jede bijektive Abbildung der Menge K auf sich eine Permutation.

Was ist die Verbindung zwischen diesen beiden Auffassungen? Es ist ganz einfach. K ist eine endliche Menge, hat also n Elemente für eine natürliche Zahl n.

Eine bijektive Funktion ordnet nun umkehrbar eindeutig jedem Element von K ein Element von K zu.

Jede dieser Funktionen bestimmt damit eine Permutation, da alle Elemente als Urbild und Bild unter der Funktion genau einmal auftreten (eineindeutig, also "eins zu eins").

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Und so lösen wir Marthas Problem:

Wir bezeichnen die Bilder mit 1, 2 und 3 und die Orte an der Wand ebenfalls mit 1, 2 und 3. Jede Möglichkeit ist also eine bijektive Abbildung der Menge K = {1, 2, 3} auf sich selbst.

In diesem Beispiel bleibt das Bild mit der Nummer 1 an der Stelle 1 und die Bilder 2 und 3 tauschen den Ort.

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Rechnen wir einmal nach: Wie viele Abbildungen dieser Art gibt es? Schon ab kleinem n sehr viele. Man sieht in dieser Liste, dass die Zahl n! sehr schnell sehr groß wird.

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Und noch einmal die gleiche Situation: 20 Pferde nehmen an einem Pferderennen teil. Wie viele verschiedene Ergebnisse des Rennens sind möglich, wenn alle Pferde ins Ziel kommen? Jede Menge und ganz genau 2,432902 •10¹⁸, eine Zahl mit 19 Stellen und das sind dann bereits Trillionen.

Aber unabhängig vom genauen numerischen Ergebnis ist wichtig, dass hinter diesem Beispiel die gleiche Grundidee wie im vorherigen Beispiel steht.

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Erinnern Sie sich? Wir haben im Laufe dieses „Redens über Mathematik“ mit Würfeln und Münzen, mit Kleidung und Essen, mit Bildern und Pferden gearbeitet. Gibt es noch andere geeignete Materialien, um die Aufgaben in der Kombinatorik darzustellen? Ja, es gibt eine sehr wichtige Möglichkeit und das ist die mit geeigneten Kugeln gefüllte Urne.

In einer Urne (oder in einem kleinen Beutel, unbedingt undurchsichtig) befinden sich Kugeln, die sich nur durch ihre Farbe oder ihre Nummerierung unterscheiden (jedenfalls nicht durch ihre Form). Der Vorteil des Urnenmodells ist, dass viele der üblicherweise betrachteten Zufallsexperimente auf dieses Modell zurückgehen.

Diese Urne hat 20 Kugeln und ist daher z. B. geeignet, das Rennen von 20 Pferden zu simulieren. Sie müssen eine Folge von Kugeln nur "blind" herausnehmen und bekommen ein mögliches Ergebnis des Rennens. Nun ja, eines und vielleicht zwei oder drei. Aus praktischen Gründen sicher nicht Trillionen.

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Es ist also vor allem in der Schule besser, mit kleineren Zahlen zu arbeiten. Welche überschaubaren Probleme kann man mit einer solchen Urne simulieren? Denken Sie einen Moment darüber nach. 

Auf der linken Seite sehen Sie eine Urne mit drei verschiedenfarbigen Kugeln. Damit kann z. B. das Problem der drei Bilder von Martha simuliert werden. In der Mitte befindet sich eine Urne mit sechs Kugeln, die von 1 bis 6 nummeriert sind. Offensichtlich kann damit ein Würfelwurf simuliert werden. Rechts befindet sich ein Kasten mit vier Kugeln A, B, C und D. Er kann, wieder nur als Beispiel, zur Simulation der Aufstellung der vier Kinder vor der Tafel verwendet werden. Aber es gibt noch mehr Möglichkeiten. Wenn A und B als Kopf und C und D als Zahl interpretiert werden, dann können wir mit dieser Urne auch das Werfen einer Münze simulieren.

Die Methode ist immer gleich: Wir ziehen ohne Hinzusehen Kugeln aus dieser Urne.

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Gehen wir zur Permutation zurück, denn an dieser Stelle fehlt uns noch eine Methode, um die Ergebnisse darzustellen. Hier ist sie: Wieder ist ein Baumdiagramm für die Darstellung sehr gut geeignet.

Es gibt allerdings eine Besonderheit: Nehmen wir an, wir arbeiten mit n Elementen und wie immer ist n eine natürliche Zahl. Dann gibt es jeweils mehrere Möglichkeiten für die Auswahl der ersten n-1 Elemente. Für das letzte Element, das n-te Element, gibt es hingegen nur noch eine Option.

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Das war's für heute. Vielen Dank, dass Sie mir zugehört haben, dass Sie dabei waren und für Ihr Interesse.