7          Ziehen aus einer Urne: Was passiert eigentlich beim Zahlenlotto?

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Hallo und herzlich willkommen zu einer neuen Folge, in der wir wieder über Mathematik reden. Noch einmal geht es um Zufallsexperimente, wieder ziehen wir aus einer Urne (oder machen zumindest etwas ganz Ähnliches). Wir legen dieses Mal nichts zurück und wir interessieren uns auch nicht für die Reihenfolge. Bestimmt kennen Sie das Lottospiel „6 aus 49“. Das ist der Prototyp für die Aktionen, die wir heute machen werden.

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Nina ist eine junge Frau, die mit Begeisterung verreist. Und jedes Mal hat sie das gleiche Problem: Was soll sie in den Koffer packen? Sie hat 12 Kleider. Nehmen wir an, davon passen vier in ihren Koffer. Dann gibt es  

12 • 11 • 10 • 9

Möglichkeiten, oder?

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Das ist ein ganz dickes „oder“, denn so funktioniert Kofferpacken nicht. Schließlich macht es keinen Unterschied, ob erst das grüne und dann das rote Kleid eingepackt wird oder ob diese Reihenfolge vertauscht wird.

Es wird Sie nicht verwundern: Auch hier müssen wir zunächst systematisch überlegen.

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Ganz einfach gesprochen: Hier kommt es im Ergebnis wirklich nicht auf die Reihenfolge an.

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Wir machen uns das Leben etwas einfacher, um die grundlegende Idee zu verstehen, und schauen Lene beim Kofferpacken zu. Sie hat – ganz übersichtlich – nur fünf Kleider, von denen drei in ihren Koffer sollen.

Für das erste Kleid gibt es fünf Möglichkeiten, für das zweite Kleid vier und für das dritte Kleid noch drei. Also gehen wir zunächst von 5 • 4 • 3 Möglichkeiten aus und das sind – anders und mit mathematischem Repertoire gesprochen – gerade 5! geteilt durch (5-3)! = 2! Möglichkeiten.

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Nun haben wir allerdings manche Zusammenstellungen mehrfach gezählt und das sind in diesem Fall alle Zusammenstellungen von drei Kleidern in denselben Farben. Da gibt es nun aber gerade 3 • 2 • 1 = 3!, man muss also alle Permutationen herausrechnen. Herausrechnen bedeutet in diesem Fall dividieren, denn von den genannten 3! = 6 Möglichkeiten bleibt jeweils nur genau eine übrig. Klar, oder?

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Überlegen wir uns das noch einmal an einem anderen Beispiel. Sicherlich wissen Sie, dass man Skat mit 32 Karten spielt. Davon werden je zehn an die drei spielenden Personen verteilt. Wie viele Möglichkeiten gibt es für ein solches Blatt mit zehn Karten?

Offensichtlich ist auch hier wieder das Produkt der Zahlen 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24 und 23 der Ausgangspunkt, also die Zahl 32! geteilt durch (32-10)! Dieses Mal müssen wir alle Möglichkeiten für zehn gleiche Karten in anderer Reihenfolge herausrechnen und das sind 10! Möglichkeiten. Und wie eben: Herausrechnen bedeutet das Dividieren durch 10!.

Man bekommt dann 64.512.240 Möglichkeiten, eine beeindruckend große Zahl.

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Und auch das bei uns so beliebte Zahlenlotto „6 aus 49“ folgt – wir sagten es bereits – genau diesem Muster.

Wir gehen von 49 • 48 • 47 • 46 • 45 • 44 Möglichkeiten aus und dividieren durch 6!, also durch die Anzahl der Permutationen von sechs Zahlen.

Die Zahl 49! geteilt durch (49-6)! und 6! – das sind mehr als 15 Millionen Möglichkeiten.

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Was haben wir gemacht? Nun, drei Situationen betrachtet, die auf den ersten Blick nicht viel gemeinsam haben. Wir haben drei aus fünf Kleidern, zehn aus 32 Karten und schließlich sechs aus 49 Zahlen ausgewählt.

Aus Sicht der Mathematik haben wir allerdings mehr oder minder dieselbe Situation vor uns. Wir haben nämlich die Anzahl aller Teilmengen mit 3 Elementen einer Menge aus 5 Elementen, die Anzahl aller Teilmengen mit 10 Elementen einer Menge aus 32 Elementen und die Anzahl aller Teilmengen mit 6 Elementen einer Menge aus 49 Elementen bestimmt.

Kurz und gut: Wir haben jeweils Anzahlen von ganz bestimmten Teilmengen bestimmt. Und dabei sind wir eigentlich auch immer dem gleichen Muster gefolgt.

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Wir haben hier eine ganz typische Situation in der Kombinatorik betrachtet, nämlich die Kombination ohne Wiederholung und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Die Anzahl der Teilmengen mit k Elementen von einer Menge mit n Elementen (und das gilt für 0 ≤ k ≤ n und n≠ 0 ) ist n! geteilt durch (n-k)! und k!.

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Mit dieser Formel kann man nun ganz leicht bestimmen, wie viele Möglichkeiten Nina beim Kofferpacken hat. Sie erinnern sich. Nina hat zwölf Kleider und möchte vier davon in ihren Koffer packen.

Dafür hat sie dann 12! geteilt durch (12-4)! und durch 4!, insgesamt 495 Möglichkeiten. Das reicht doch immerhin für mehr als ein Jahr mit unterschiedlichem Kofferinhalt.

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Möchten Sie selbst rechnen? Dann ist hier eine Auswahl von Aufgaben, die leider alle mit Prüfungssituationen verbunden sind.

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Für den Term n! geteilt durch (n-k)! und k! gibt es ein neues Symbol. Man schreibt n und k übereinander und zeichnet eine große Klammer drumherum. Dieser Term heißt Binomialkoeffizient und wird „n über k“ gelesen.

Dabei ist n eine natürliche Zahl, k auch, die Zahl darf aber auch Null sein. Und k ist allerhöchstens so groß wie n.

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Der Name kommt daher, dass der Binomialkoeffizient in binomischen Termen steckt. Sie erinnern sich? Es ist

(a+b)² = a² +2ab + b²       

(a+b)³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³

(a+b)⁴ = a⁴ +4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a+b)⁵ = a⁵ +5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³  + 5ab⁴ + b⁵

für alle reellen Zahlen a und b.

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Das sind ganz systematisch die Koeffizienten. Sie bilden ein Pascal’sches Dreieck.

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Und so könnte man die Koeffizienten auch schreiben. Prüfen Sie es für kleine Zahlen nach.  

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Das war es für heute. Danke fürs Dabeisein, Danke für Ihr Interesse und bis zum nächsten Mal.