10 Zwischen praktischer Beobachtung und mathematischer Theorie:

     Das empirische Gesetz der großen Zahl.

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Herzlich willkommen zu einer neuen Folge, in der wir wieder über Mathematik reden werden. Auch dieses Mal geht es um Zufallsexperimente und ganz genau darum was passiert, wenn ein bestimmtes Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt wird.

Wie so häufig in der Mathematik interessieren wir uns für etwaige Regelmäßigkeiten.

Noch eines: Wir werden einige Zufallsexperimente sehen, die auch schon in vorigen Folgen verwendet wurden, und werfen einfach einen neuen Blick darauf.

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Und damit fangen wir auch gleich an. Wir werfen mit einem ganz normalen Spielwürfel 10-mal, 100-mal, 1000-mal. Die absoluten Zahlen haben Sie in. Der letzten Folge bereits gesehen.

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Wenn man die Daten in ein Säulendiagramm einträgt, dann sieht man für N = 10 ein recht unregelmäßiges Bild. Viermal kam die 4, zweimal die 1 und alle anderen Zahlen wurden je einmal geworfen.

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Für N = 100 wirkt das Säulendiagramm schon etwas ruhiger. Doch die Säulen sind nicht – wie man erwarten würde – gleich hoch. Offensichtlich wurden die 2 und die 3 deutlich seltener geworfen als die 5 und die 6.

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Und das ändert sich nun, wenn N = 1000 ist, also 1000-mal gewürfelt wurde. Die 2 hat deutlich aufgeholt, die 5 etwas an Boden verloren. Aber vor allem wird deutlich, dass die Anzahl von Würfen für die einzelnen Zahlen zwischen 1 und 6 so langsam dichter beieinander liegen.

Was würde man für N = 10.000 oder N = 100.000 erwarten? Vermutlich, dass das Bild noch ruhiger wird, die Abweichungen von einem Sechstel der jeweiligen Zahl kleiner wird.

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Lassen Sie uns das noch einmal in einer anderen Darstellung betrachten. Für dieses Diagramm habe ich den Zufallsgenerator würfeln lassen und zählen lassen, wie oft dabei die 6 auftrat. Es wurde dann die relative Häufigkeit bestimmt und man erkennt, dass für kleine Werte von N diese Häufigkeit recht schwankend ist, sich ab N = 1000 aber offen sichtlich einpendelt und etwas über dem Werte 0,15 liegt. Theoretisch wäre es ein Sechstel, also 0,166666… usw. oder – mathematisch korrekt gesprochen, denn usw. mag man da nicht so gerne – 0,6 Periode.

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Wir haben hier nun um diesen Wert von 0,1666 einen Streifen der Breite 0,1 gelegt, also 0,05 nach oben und 0,05 nach unten.

Zu Beginn findet man die relative Häufigkeit auch einmal außerhalb dieses Streifens, ab einer gewissen Zahl von Versuchen dann nur noch innerhalb dieses Streifens. Und würde man den Streifen weniger breit machen, also etwa halb so breit, dann würden vermutlich auch alle Werte, dann eben ab einem etwas größeren N, im Inneren des Streifens liegen. 

Offensichtlich nähert sich die empirisch gewonnene relative Häufigkeit der Würfe mit dem Ergebnis 6 bei vielen Versuchen an die theoretische Wahrscheinlichkeit an.

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Auch das haben wir schon einmal gemacht, nämlich mit zwei Würfeln geworfen und die Augensummen addiert. Wichtig ist nun, dass wir es nicht nur 1000-mal gemacht haben, sondern auch in Hunderterschritten die Zwischenergebnisse aufgeschrieben haben.

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Und das sind die relativen Häufigkeiten für ausgewählte Summen – hier 2, 3, 5, 7 und 12 – in ihrer Entwicklung von N = 100 bis N = 1000, wobei ich ein paar Schritte ausgelassen habe, um die Folie übersichtlich zu lassen.

Bei den Summen 2 und 3 schwanken die relativen Häufigkeiten deutlich und sind auch von der theoretischen Wahrscheinlichkeit ein Stück entfernt. Hier waren die Werte für N = 100 nicht schlechter als die für N = 1000.

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Bei den Summen 5, 7 und 12 sieht es besser aus und die relativen Häufigkeiten nähern sich den theoretischen Wahrscheinlichkeiten bzw. die beiden sind für die Summe 7 sogar gleich.

Um allerdings die Vermutung wirklich zu bestätigen, dass sich auf lange Sicht die empirischen Ergebnisse der theoretischen Wahrscheinlichkeit nähern, sollten wir die Versuchsreihe ausweiten.

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Etwas besser sieht man die Tendenz übrigens, wenn man die Häufigkeitsverteilungen im Säulendiagramm betrachtet.

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Lassen wir die beiden Zufallsexperimente noch einmal Revue passieren.

Bei beiden Experimenten wurde zunächst deutlich, dass bei kleiner Anzahl von Versuchen alles möglich ist. Es ist keine Tendenz zu erkennen.

Mit größerem N näherte sich die empirische Wahrscheinlichkeit aber immer besser an die theoretische Wahrscheinlichkeit an.

Wir nennen dieses Phänomen das empirische Gesetz der großen Zahl. Es besagt: Wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft durchführt, dann nähern sich die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ereignisse einem bestimmten Wert. Und natürlich müssen diese Ereignisse nicht gleichwahrscheinlich sein. Das haben wir ja am Beispiel der Augensumme gesehen.

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Was passiert, wenn wir keine theoretische Wahrscheinlichkeit kennen? Gar nichts, das Konzept ist ohne weiteres übertragbar.

Nehmen wir als Beispiel die uns ebenfalls bereits vertrauten Reißzwecken.  Wir hatten sie 1000-mal geworfen, wobei sie 633-mal auf den Kopf und 367-mal auf die Seite fiel. Es ist sicherlich nicht unvernünftig anzunehmen, dass sich auch hier das Ergebnis stabilisieren dürfte, wenn wir das Zufallsexperiment sehr häufig durchführen.

Auch hier gilt also das empirische Gesetz der großen Zahl.

Mit wachsender Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines beobachteten Ereignisses.

Warum heißt es Gesetz und nicht einfach mathematischer Satz? Ganz einfach. Ein mathematischer Satz braucht einen Beweis. Dieses Gesetz kann nicht bewiesen werden, es ist vielmehr eine empirische Erfahrung. Sie wissen ja, dass der Zufall immer für eine Überraschung gut ist.

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Das war es für heute. Danke, dass Sie dabei waren und ich freue mich auf Sie in der nächsten Folge.