4          Das allgemeine Zählprinzip: Ein Menü à la carte.

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Hallo zusammen und willkommen zu diesem Ausflug in die Kombinatorik. Wir werden heute über das Allgemeine Zählprinzip sprechen, ein Verfahren, das – wie eben gesagt – in der Kombinatorik eine Rolle spielt. Wir werden dazu Situationen betrachten, in denen ein systematisches Zählen hilfreich ist.

Die Kombinatorik hat in den letzten Jahren an Bedeutung gewonnen – gerade auch in der Schule. Der Grund ist einfach: es gibt viele alltägliche Situationen, in denen Wissen aus der Kombinatorik sinnvoll angewendet werden kann. Und das Gebiet passt gut in den Mathematikunterricht. Es gibt viele Aktivitäten, mit denen man insbesondere die Schülerinnen und Schüler zur Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten motivieren kann.

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Bildungsstandards für den Mathematikunterricht betonen in vielen Staaten den Umgang mit Daten und dem Zufall.

Eine Basis: ist die Kombinatorik. Sie ist ein Teil der Mathematik, in dem Zählverfahren, die Konstruktion sowie das Vorhandensein bestimmter Eigenschaften von Konfigurationen thematisiert werden und der eine wichtige Grundlage ist, um die Theorie der Wahrscheinlichkeit zu entwickeln. 

Ein zentraler Aspekt sind Zählverfahren für Kombinationen mit und ohne Wiederholung, sowie mit und ohne Zurücklegen. Wir werden ganz schnell sehen, was das konkret bedeutet.

Insbesondere werden ein wichtiges Zählverfahren im Detail kennenlernen, das bereits genannte „Allgemeine Zählprinzip“.

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Schauen wir uns die Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss an. Dort werden unter der Leitidee „Zahl“ kombinatorische Überlegungen explizit erwähnt: Die Schülerinnen und Schüler sollen in konkreten Situationen kombinatorische Überlegungen durchführen, um die Anzahl der jeweiligen Möglichkeiten zu bestimmen.

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Hier ist ein Beispiel dazu. Nehmen wir an, wir werfen 100 Mal mit zwei Würfeln, bilden die Summe der Augenzahlen und ermitteln die absoluten Häufigkeiten.

6 und 1 sind 7, 1 und 1 sind 2, 1 und 2 sind 3, 4 und 6 sind 10, 4 und 5 sind 9, 3 und 6 sind 9, 5 und 1 sind 6, 5 und 6 sind 11.

Hundert Mal ist viel, ich denke, Sie vertrauen mir, dass ich das korrekt gemacht habe. Die Ergebnisse notieren wir in einer Tabelle. Offensichtlich sind die Summe 5, 6 und 7 deutlich häufiger aufgetreten als die Summen 2, 3, 11 und 12.

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So sieht es aus, wenn wir die Ergebnisse in ein Balkendiagramm übertragen. Man kann sie so schneller lesen und sieht ganz schnell, welche Ergebnisse häufig oder weniger häufig erreicht wurden.

Steckt ein System dahinter? Vielleicht, aber alleine aus ein paar Versuchen, kann man das. nicht schließen. Wenn man eine ganze Klasse aber 100 Mal würfeln lässt, dann dürften die Ergebnisse schon zuverlässiger werden. Probieren Sie es aus, das eigene Handeln ist eine wunderbare Grundlage für gute Mathematik.

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Werfen wir noch einmal mit zwei Würfeln, dieses Mal allerdings aus Sicht der Kombinatorik. Welche Möglichkeiten gibt es für die Augensumme aus einer theoretischen Perspektive hinaus?

Wir bekommen ein perfektes Balkendiagramm, wenn man sie systematisch betrachtet und kann daraus – wie man auf der rechten Seite sieht – die relativen Häufigkeiten leicht berechnen.

Mit anderen Worten: Natürlich ist die theoretische Perspektive sinnvoll und passend zum Experiment. Sie hilft insbesondere dabei zu erklären, warum manche Augensummen deutlich häufiger auftreten als andere.

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Machen wir weiter und werfen dieses Mal eine Münze fünf Mal hintereinander. So sieht das Resultat aus: Zahl – Zahl – Zahl – Zahl – Zahl.

Was sagen Sie zu diesem Resultat? Kann man das tatsächlich rein zufällig erreichen? Auf jeden Fall. Fraglos kann auch fünfmal Zahl auftreten, wenn eine Münze fünfmal geworfen wird.

Würden das auch Ihre Schülerinnen und Schüler so sehen? Sie könnten es anders sehen und das Ergebnis als eher unwahrscheinlich bezeichnen. Und nicht alle können zwischen unwahrscheinlich und unmöglich treffsicher unterscheiden.

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Wiederholen wir die Münzwürfe. Wie gefällt Ihnen dieses Ergebnis? Könnte es Ihren Schülerinnen und Schülern besser gefallen als das erste Ergebnis?

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Und nun stellen Sie sich vor, Sie hätten 100 Euro drauf gewettet, dass bei fünf Würfen zumindest einmal „Kopf“ erscheint. Was denken Sie, wenn bei den ersten drei Würfen immer Zahl erscheint? Und was sagen Sie schließlich im Vergleich der jetzt drei Durchgänge? Ist da irgendetwas zufälliger? Einfach so ist das schwer zu sagen. Wir brauchen wohl eine Perspektive, die stärker durch eine passende Theorie gestützt ist.

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Und das sind nun alle Möglichkeiten, ordentlich sortiert und mit Beachtung der Reihenfolge. Es gibt 32 verschiedene Ergebnisse, nämlich bei jedem Durchgang zwei Möglichkeiten und damit 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 gleich 2⁵ gleich 32 Ergebnisse, die – wie gesagt bei Berücksichtigung der Reihenfolge – unterscheiden.

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Eine solche systematische Betrachtungsweise steht im Fokus der Kombinatorik. Mit ihrer Hilfe bestimmt man Anzahlen. Und wenn es so geht wie im Beispiel eben, bei dem das schlichte Multiplizieren der jeweiligen Möglichkeiten genügt, dann spricht man vom „Allgemeinen Zählprinzip“.

 

Betrachten wir dazu noch ein typisches Beispiel. Sie sehen hier ein Zahlenschloss mit fünf Stellen. Jede dieser Stellen kann mit einer der Zahlen zwischen 0 und 9 besetzt werden.

Folglich gibt es 10 Möglichkeiten für die erste Stelle, 10 Möglichkeiten für die zweite Stelle, 10 Möglichkeiten für die dritte Stelle, 10 Möglichkeiten für die vierte Stelle und 10 Möglichkeiten für die fünfte Stelle. So kommt man offensichtlich auf 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 10⁵ = 100.000 verschiedene Belegungen. Klar, es sind ja gerade alle Zahlen zwischen 0 und 99.999.

Kein Problem, oder?

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Noch ein Beispiel: Wir werfen vier Würfel in unterschiedlichen Farben. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es?

Auch diese Aufgabe ist einfach und folgt dem gleichen Prinzip: Bei jedem Wurf gibt es sechs Möglichkeiten, sodass man insgesamt 6 • 6 • 6 • 6 • = 6⁴ = 1.296 Fälle unterscheiden kann.

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Und auch das nächste Beispiel folgt dem Prinzip (und ist auch bestens für den Unterricht geeignet). Wir ziehen uns unterschiedlich an (bei begrenztem Kleiderschrank). Tom hat drei Shirts, zwei Hosen und zwei Paar Schuhe. Auf wie viele verschiedene Arten kann er sich kleiden?

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Ich denke, es ist eine einfache Aufgabe, diese Zahl zu ermitteln. So geht es:

Er hat drei Hemden: eins, zwei, drei. Er hat zwei Hosen: Eins, zwei, eins, zwei, eins, zwei. Und er hat zwei Paar Schuhe: Eins, zwei, eins, zwei ... und so weiter.

Zusammen hat er 3 mal 2 mal 2 gleich 12 Möglichkeiten, sich unterschiedlich anzuziehen.

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Was gerade entstanden ist, das ist ein Baumdiagramm, eine Art der Darstellung von Daten, die in diesem Zusammenhang sehr passend ist.

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Es gibt viele Beispiele, die sich für die Arbeit im Unterricht eignen, so auch dieses Menu in drei Gängen.

Welches Drei-Gänge-Menü bevorzugen Sie? Wie viele verschiedene Menüs können kombiniert werden? Und welches Prinzip steck hinter dieser Aufgabe?

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Natürlich dasselbe Prinzip, also noch einmal das Allgemeine Zählprinzip. Man kann insgesamt 2 • 3 • 3 = 18 verschiedene Menus bestellen. Und auch hier bekommt man ganz leicht ein Baumdiagramm.

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Damit haben wir einen Grundbegriff der Kombinatorik: erarbeitet, nämlich das allgemeine Zählprinzip.

Stellen Sie sich vor, Sie müssen n Stellen besetzen. Wenn es

k₁ Möglichkeiten für Stelle 1,

k₂ Möglichkeiten für Stelle 2,

…

k_n Möglichkeiten für Stelle n

gibt, dann gibt es insgesamt k₁ · k₂ · … · k_n verschiedene Möglichkeiten, die n Stellen zu besetzen.

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Danke für Ihre Aufmerksamkeit und Ihr Interesse und bis bald.