6          Ziehen aus einer Urne: Manchmal kommt es auf die Reihenfolge an.

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Herzlich willkommen zu dieser Folge, in der wir wieder einmal über Mathematik reden. Dabei stehen Zufallsexperimente im Vordergrund, bei denen für das Ergebnis auch die Reihenfolge zählt. So macht es natürlich einen Unterschied, ob ein Läufer in einem Wettbewerb auf dem ersten, zweiten oder dritten Platz landet. Und interessieren allerdings weniger die sportlichen Erfolge als die prinzipiellen Möglichkeiten.

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Lassen Sie uns mit einem Beispiel beginnen. ASCII, der American Standard Code of Information Interchange dient zur Kodierung von Informationen. Er folgt einer einfachen Logik: Gegeben ist ein Byte. Es besteht aus acht Speichereinheiten, die entweder eingeschaltet oder ausgeschaltet sein können. Setzt man den einen Zustand auf 0 und den anderen auf 1, dann gibt es für jeden dieser acht Plätze die Möglichkeit, ihn mit 0 oder 1 zu füllen. Entsprechend kann man

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 2⁸ = 256

Wörter der Länge 8 bilden. Dabei kommt es auf die Reihenfolge an, denn 0101010101 ist von 10101010 verschieden.

Diese Anzahl reicht etwa aus, um Groß- und Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets, die Ziffern von 0 bis 9 und ein paar Satzzeichen und Steuerzeichen zu kodieren.

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Auch Fußballtoto ist ein Beispiel dafür, dass es auf die Reihenfolge ankommen kann. In Deutschland muss man bei dieser Wette das Ergebnis von 13 Spielen vorhersagen, also ob es für die erstgenannte Mannschaft einen Sieg oder eine Niederlage geben wird oder ob die Mannschaften „unentschieden“ spielen. Es gibt entsprechend 3¹³ = 1.594.323 Möglichkeiten, den Wettschein auszufüllen. Jedes der dreizehn Spiele kann jedes der drei möglichen Ergebnisse haben.

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Und ganz allgemein: Das ist nichts anderes als ein Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge.

Beispiel

In einer Urne sind drei unterscheidbare Kugeln. Wir ziehen zweimal.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, eine Kugel zu ziehen, sie zurückzulegen und ein weiteres Mal zu ziehen? Dabei soll die Reihenfolge eine Rolle spielen.

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Noch einmal ist die Lösung sofort einsichtig und ganz einfach: Es gibt 3 • 3 = 3² = 9 Möglichkeiten.

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Und es dürfen auch gerne ein paar Kugeln mehr sein.

In dieser Urne sind acht unterscheidbare Kugel. Wie viele Möglichkeiten gibt es, daraus fünf Kugeln zu ziehen, wenn man sie jeweils wieder zurücklegt und sich auch für die Reihenfolge interessiert?

Ganz einfach auch in diesem Fall, man muss nur potenzieren und bekommt

8 • 8 • 8 • 8 • 8 = 8⁵ = 32.768

Möglichkeiten des unterschiedlichen Ziehens.

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Betrachten wir die Aufgaben wieder von der systematischen Seite. Wir ziehen, legen zurück und interessieren uns für die genaue Sequenz. Wir ziehen also mit Wiederholung und mit Beachtung der Reihenfolge.

Grundlage ist eine Menge mit n Elementen, aus der wir Folgen von k Elementen ziehen. Das sind so genannte k-tupel, bei denen die einzelnen Stellen auch immer wieder mit den gleichen Elementen besetzt werden können. Dafür gibt es n^k Möglichkeiten.

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Überlegen Sie sich weitere Anwendungen wie in diesem Beispiel: Hanna hat ein Zahlenschloss mit fünf Plätzen. Wie viele verschiedene Kombinationen kann sie eingeben? Wie viele verschiedene Kombinationen sind es, wenn sie nur die Ziffern 1, 2 und 3 nutzt?

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Betrachten wir noch einmal das Pferderennen. Möchte man wissen, wie viele Ausgänge es haben kann, wenn 20 Pferde an den Start gehen und auch ins Ziel kommen, dann kann man das leicht bestimmen. Für den 1. Platz kommen 20 Pferde in Frage, für den 2. Platz noch 19 Pferde, für den 3. Platz sind es 18 Pferde, für den 4. Platz noch 17 Pferde usw. Insgesamt kommt man auf

20! = 20 • 19 • 18 • 17 • … • 3 • 2 • 1

Möglichkeiten. Aber wen interessiert das schon nur von der theoretischen Seite her?

Praktisch ist es zumeist viel interessanter, wer denn die ersten drei Plätze einnimmt. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?

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Kennen Sie die „Dreierwette“ beim Pferderennen? Dabei geht es genau darum, welche drei Pferde – beispielsweise von 20 Pferden am Start – es auf die ersten drei Plätze schaffen.

Wie rechnet man hier? Nun ja, man multipliziert, was sonst. Es gibt offensichtlich

20 • 19 • 18 = 6840

Möglichkeiten.

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Dem gleichen Muster folgt diese Aufgabe: Wenn sich zehn Personen auf vier unterscheidbare Stühle setzen, dann ist das auf 10 • 9 • 8 • 7 = 5040 verschiedene Arten und Weisen möglich.

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Und nun versuchen wir wieder, die Situation systematisch zu betrachten: Wir ziehen, legen nichts zurück, interessieren uns aber für die genaue Sequenz. Es geht also um ein Ziehen ohne Wiederholung (also ohne Zurücklegen) und mit Beachtung der Reihenfolge.

Sie sehen es hier noch einmal ein Beispiel, dieses Mal mit Kugeln und einer Urne.

In dieser Urne sind acht verschiedene Kugeln. Wir ziehen fünf Mal ohne Zurücklegen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es?

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Das ist die Lösung: Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es für die erste Stelle 8 Möglichkeiten, für die zweite Stelle 7 Möglichkeiten, für die dritte Stelle 6 Möglichkeiten, für die vierte Stelle 5 Möglichkeiten und für die fünfte Stelle 4 Möglichkeiten. Damit bekommen wir 8 • 7 • 6 • 5 • 4 verschiedene Möglichkeiten.

Gehen wir von den Permutationen von 8 Elementen aus, dann könnte man auch schreiben 8! geteilt durch 3!, denn die durch die drei übrigen Kugeln bestimmten Möglichkeiten entfallen ja gerade.

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Und Allgemein: sieht es so aus: Die Anzahl der k-Permutationen einer Menge mit n Elementen beträgt n! geteilt durch (n-k)!.

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Schauen Sie sich weitere Beispiele an und lösen Sie die Aufgaben:

• WAIT TO BE SEATED ... In einem Restaurant sind 12 freie Tische. Es kommen fünf Paare. Wie viele Möglichkeiten gibt, ihnen je einen Tisch zuzuweisen?
• Beim olympischen 100-Meter-Lauf kommen acht Läufer ins Finale. Wie viele Möglichkeiten gibt es theoretisch für die Verteilung der drei Medaillen?
• In einen Bus mit acht freien Plätzen steigen drei Personen ein. Wie viele Möglichkeiten haben sie, sich hinzusetzen?

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Noch einmal: Wir verwenden zur Beschreibung der Situationen das Urnenmodell.

In einer Urne (oder in einem Säckchen, jedenfalls muss es undurchsichtig sein) befinden sich Kugeln, die sich lediglich in ihrer Farbe oder Nummerierung (jedenfalls nicht etwa in ihrer Form) unterscheiden. Wir können mit dieser Urne, wenn sie mit passenden Kugeln gefüllt ist, viele der gängigen Zufallsexperimente simulieren.

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Simulieren wir beispielsweise die Dreierwette. Wir ziehen aus einer Urne mit 20 Kugeln nacheinander drei Kugeln und beachten dabei die Reihenfolge. Dann entspricht das dem Pferderennen von Folie 9. Und wenn wir zehn Kugeln herausnehmen, dann können wir auch den Versuch mit den Stühlen von Folie 10 simulieren. Urnen sind flexibel, wir selbst können bestimmen, wie sie gefüllt werden und wie gezogen wird.

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Und es gibt viele Möglichkeiten, eine Urne und die enthaltenen Kugeln zu realisieren, was den Einsatz im Unterricht unproblematisch machen sollte. Die Urne kann gerne ein Säckchen sein, die Kugeln dürfen auch durch geeignete Bausteine ersetzt werden. 

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Haben Sie Lust auf Anwendungen? Denken Sie sich auch zu dieser Situation des Ziehens ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge eigene Aufgaben aus. Natürlich sollten sie für den Unterricht geeignet sein.

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Das war es für heute. Vielen Dank, dass Sie dabei waren, vielen Dank für Ihr Interesse.